Rumus Geometri, Secara Tidak sengaja terbuktikan

Yapz yapz… di liburan yang sangat panjang ini. Saya mengambil beberapa soal-soal dari forum yang bisa dibilang soal yang cukup gila untuk sebuah kalkulator untuk mengerjakannya. Beberapa dari soal ini mencakup soal-soal deret geometri dan modulo. ( tidak mau membahas yg versi advanced )…. Tapi di note kali ini, saia Cuman ingin memberitahukan tentang bukti dari rumus deret geometri. Yang secara tidak sengaja terbesit di benak saia. Yupz,. Check it out,,
Soal yang saia kerjakan itu berbunyi : “ tentukan 1000 bilangan terakhir dari 1+50+50^2+50^3+……+50^999

Jika saia kerjakan menggunakan kalkulator, tidak mungkin hal ini dapat terjadi. Lalu saia terus berpikir bagaimana cara untuk menyederhanakan persamaannya. Dengan deret geometri kah? Tapi saya lupa dengan rumusnya. Lalu, saya coba dengan cara manual. Yaitu dengan menganggap 1+50+50^2+….+50^999 sebagai N. jadi N=1+50+50^2+….+50^999.
Yap itu persamaan yang pertama. Lalu persamaan kedua yaitu N=1+50(1+50+50^2….+50^998) kita keluarkan 50 dari persamaan 1. Bisa dilihat bentuk tadi,
Setelah itu kita menuju ke persamaan yang telah dimodifikasi yaitu N=1+50(N-50^999)
Sehingga, N=1+50N-50^1000. Kita sederhanakan lagi menjadi,N= \frac{ 50^1000+1 }{50-1}
Jadi dimana rumus geometrinya, sudah mengerti kah kalian tentang rumus di atas? Jika belum, di bawah ini akan saya cantumkan persamaan yang lebih terurut.
Jika kita ganti soalnya menjadi N=a+a^2+a^3+…..+a^n maka kita akan coba dengan yang satu ini :
1. N=a+a^2+a^3+…..+a^n
2. N=a(1+a+a^2+a^3+……+a^(n-1) )karena a+a^2+……a^(n-1)+a^n=N
maka a+a^2+…..+a^(n-1)=N-a^n
3. Sehingga N=a(1+N-a^n) disubstitusi nilai tadi
4. N=a+aN-a^(n+1)
5. a^(n+1)-a=aN-N
6. a^(n+1)-a=N(a-1)
7. N=(a^(n+1)-a)/(a-1)
8. N=a(a^n-1)/(a-1)

Bisa kita ambil kesimpulan bahwa a merupakan rasio tiap bilangan adalah a. Maka dari itu, dari rumus tersebut bisa dibuat rumus yaitu :
S=a(r^n-1)/(r-1)
Dengan a=suku awal, r=rasio (dalam soal terlihat a juga tapi dalam rumus a itu rasio beda dengan a suku awal ), bisa dilihat di persamaan ke 8, rumus deret geometri juga memiliki banyak persamaan dengan persamaan tersebut.
Yap, segitu aja dulu. Penemuan-penemuan akan sll ditemukan jika sering-sering berlatih,, masih bnyk kebenaran yang belum terungkap. Jadi, jngn cpt puas… hehehehe

Plizz comment yaww..